# Eindexamen Wiskunde A HAVO 1999 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/1999/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 21 – Opgave 21

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Wiskunde A
Examen HAVO en VHBO
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
Vooropleiding
Hoger
Beroeps
Onderwijs
19 99
HAVO Tijdvak 1
VHBO Tijdvak 1
Maandag 17 mei
13.30-16.30 uur
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de vragen 11, 12 en 15
is een bijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal van deze punten toegekend als
de verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redener worden
gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegedeeld.
900007 12
Begin

### Pagina 2

```json
{
  "description": "Dit is een examentekstpagina uit een Wiskunde A of B examen, specifiek Opgave 1 getiteld 'Eieren'. De pagina bevat zowel tekstuele informatie als een visueel element in de vorm van een grafiek. De tekst introduceert de pluimveesector in Nederland en geeft statistische gegevens over de export van eieren in 1994 en 1995, inclusief aantallen en totale geldwaarde. Verder wordt gesproken over eieren die bij pakstations worden aangevoerd, met een totaal van 8231 miljoen in 1995 en 730 miljoen in december van dat jaar. \n\nHet visuele element is 'Figuur 1: Toenamendiagram 1996'. Dit is een staafdiagram waarbij de horizontale as de maanden van het jaar (jan t/m dec) weergeeft en de verticale as 'aantal eieren x miljoen' (van -70 tot 70) waarbij 'x miljoen' de toe- of afname ten opzichte van de voorgaande maand aanduidt. De zwarte verticale lijnen representeren de maandelijkse verandering. Er zijn duidelijke waarden af te lezen voor januari (-22 miljoen), februari (-48 miljoen), maart (26 miljoen), april (-70 miljoen) en mei (25 miljoen circa). De maanden juni tot en met december zijn niet ingevuld in dit toenamendiagram.\n\nDe student wordt gevraagd om twee opgaven op te lossen. Opgave 1 vraagt om een percentuele toename van de gemiddelde prijs van een geëxporteerd ei te berekenen, gebaseerd op de gegeven exportcijfers van 1994 en 1995. Dit vereist het berekenen van ratio's en procentuele veranderingen. Opgave 2 vraagt naar het totale aantal eieren dat in het tweede halfjaar van 1996 is aangevoerd, rekening houdend met de informatie uit het toenamendiagram en de algemene informatie dat in heel 1996 evenveel eieren zijn aangevoerd als in 1995. Dit vereist het interpreteren van de grafiek, accumuleren van toe- en afnames, en het doen van berekeningen met grote getallen.",
  "summary": "Examenpagina met tekst over pluimveesector en exportcijfers van eieren (1994-1995). Bevat een Toenamendiagram 1996 (staafdiagram) van maandelijkse afname/toename van aangevoerde eieren. Vraagt om berekening van procentuele prijsstijging en

### Pagina 3

Dit is een examenpagina die zich richt op statistiek, specifiek normale verdelingen en het toepassen hiervan op gewichtsklassen van eieren. De pagina bevat geen visuele elementen zoals grafieken of figuren. Wel is er een tabel die de 'nieuwe indeling' van gewichtsklassen beschrijft, met kolommen voor 'klasse' (XL, L, M, S), 'aanduiding' (zeer groot, groot, middelgroot, klein) en 'gewicht' (in grammen). De context van de opgaven is de indeling van eieren in verschillende gewichtsklassen, zowel een 'oude' indeling (0 t/m 7) als een 'nieuwe' indeling (XL, L, M, S). Er wordt gewerkt met wiskundige concepten zoals normale verdeling, gemiddelde en standaardafwijking. Studenten wordt gevraagd om berekeningen uit te voeren met betrekking tot percentages en aantallen eieren die binnen bepaalde gewichtsklassen vallen, en daarbij hun antwoorden toe te lichten. Specifiek moeten ze de volgende taken uitvoeren: 1. Berekenen welk percentage van de eieren in een bepaalde gewichtsklasse (oude indeling) valt. 2. Aantonen dat een bepaald aantal eieren onder de nieuwe indeling in klasse XL valt, terwijl deze onder de oude indeling in klasse 1 zouden zijn ingedeeld. 3. Berekenen welk percentage van de eieren in klasse XL (nieuwe indeling) bestemd was voor de winkels, rekening houdend met het feit dat een deel hiervan (oude klasse 0) voor horeca en industrie was.

### Pagina 4

```json
{
  "description": "Deze pagina is een opgave van een examen en richt zich op het concept van telefoonkosten en abonnementen. De pagina bevat een gedetailleerde inleiding over de introductie van nieuwe telefoonabonnementen door PTT Telecom in juni 1997, inclusief de wijziging in de berekening van gesprekskosten (per seconde in plaats van per 'tik') en de introductie van 'BelPlus' en 'BelBudget' naast het bestaande 'BelBasis' abonnement. De totale telefoonkosten bestaan uit abonnementskosten en gesprekskosten, waarbij gesprekskosten alleen gelden voor uitgaande gesprekken.\n\nHet visuele hoofdelement is 'tabel 1', die de vernieuwde tarieven presenteert. Deze tabel is een complexe datastructuur met drie abonnementstypen (BelBasis, BelPlus, BelBudget) en daaronder de maandelijkse abonnementskosten. Verder zijn de gesprekskosten per minuut gespecificeerd, onderverdeeld naar 'Nederland, binnen uw regio' en 'Nederland, buiten uw regio', met daarbinnen nog differentiatie tussen 'overdag (08.00 tot 18.00 uur)' en ''s avonds en in het weekend'. Een voetnoot bij de tabel (aangegeven met een '1') verduidelijkt dat tarieven per minuut zijn, maar per seconde worden afgerekend en dat elk gesprek een starttarief van 10 cent heeft.\n\nDe pagina beschrijft verder een voorbeeld van gesprekskostenberekening voor het BelBasis abonnement, waarbij rekening wordt gehouden met het starttarief. Daarna, worden er twee concrete vraagstukken gesteld aan de student, gemarkeerd als '6' en '7'.\n\nBij vraag 6 wordt van de student gevraagd om de minimale telefoonkosten per maand te berekenen voor een persoon die een specifiek belgedrag heeft (90 gesprekken per maand, bepaalde verdeling regio/buiten regio, duur per gesprek, beltijdstip), en een keuze moet maken tussen het BelBasis en BelPlus abonnement. Dit vereist het toepassen van de tarieven uit tabel 1, inclusief het starttarief.\n\nVraag 7 vraagt de student te berekenen hoeveel minuten per maand maximaal gebeld kan worden binnen de regio, louter 's avonds en in het weekend, wanneer men overstapt van BelBasis naar BelBudget en daarbij voordeliger uit is. Dit toets de vaardigheid in het omgekeerd toepassen van tarieven en het optimaliseren van kosten.\n\nDe wiskundige/wetenschappelijke concept

### Pagina 5

Dit is een examenpagina die deel uitmaakt van een opgavenreeks, specifiek over het vergelijken van telefoondiensten/abonnementen, namelijk BelBasis en BelPlus. Visuele elementen op deze pagina zijn beperkt tot de tekstuele presentatie van de opgave en een wiskundige formule, er zijn geen grafieken of tabellen direct zichtbaar op deze pagina (hoewel er wordt verwezen naar 'tabel 1' en een 'figuur op de bijlage' die niet zijn inbegrepen). Centraal staat het wiskundige concept van het opstellen en interpreteren van een lineaire formule om een kostenverschil te berekenen, en het werken met ongelijkheden om de voordeligste optie te bepalen. De formule die wordt gepresenteerd is: K_verschil = 0,75 · T₁ + 2,5 · T₂ - 600, waarbij K_verschil het kostenverschil in centen is, T₁ de gebelde minuten 's avonds of in het weekend binnen de regio, en T₂ de gebelde minuten 's avonds of in het weekend buiten de regio. Van de student wordt gevraagd om de betekenis van coëfficiënten (0,75) in de formule te verklaren, te bepalen welk abonnement voordeliger is bij een positief kostenverschil, het kleinste aantal minuten te berekenen waarbij de kosten van beide abonnementen gelijk zijn, en ten slotte een gebied in een (niet-zichtbare) figuur op een bijlage te arceren en de werkwijze hiervan toe te lichten.

### Pagina 6

Dit is een examenpagina met de titel 'Opgave 3 Mobiliteit'. De pagina bevat een opgave die gerelateerd is aan de relatie tussen gemiddeld inkomen (I) en mobiliteit (M). De pagina bevat een visueel element: Figuur 2, een logaritmische grafiek (vermoedelijk, aangezien de assen exponentiële waarden tonen zoals 10^2, 10^2.2, etc.). Deze grafiek toont de ontwikkeling van inkomen en mobiliteit voor drie regio's (Noord-Amerika, West-Europa, Pacific-Azië) over de periode 1960-1990. De horizontale as (I) representeert het gemiddelde jaarinkomen in dollars van 1985, en de verticale as (M) representeert de mobiliteit in kilometers per jaar. Beide assen maken gebruik van een 'bijzondere schaalverdeling', wat duidt op een logaritmische schaal of een schaal met exponentiële stappen. Er wordt vermeld dat een vergrote versie van Figuur 2 in een bijlage beschikbaar is voor betere aflezing.

De student wordt gevraagd om wetenschappelijke en wiskundige concepten toe te passen. Opdracht 12 vraagt de student om aan te tonen, met behulp van de bijlage (niet aanwezig op deze pagina), dat het gemiddelde jaarinkomen in Pacific-Azië niet elke 10 jaar met hetzelfde percentage steeg. Dit vereist inzicht in procentuele groei en het kunnen aflezen van data van een logaritmische grafiek. Opdracht 13 betreft het berekenen van de mobiliteit (M) voor West-Europa, gegeven een specifieke formule (M = 0.07 * I^1.26) en een jaarinkomen (I) uitgedrukt in Nederlandse guldens (ƒ 25 000,-), waarbij een wisselkoers (1 dollar = ƒ 2,20) uit 1985 gegeven is. Dit vereist het omrekenen van valuta en het substitueren van waarden in een gegeven formule.

### Pagina 7

Dit is een opgavepagina van een examen, te herkennen aan de 'Opgave' titel en genummerde vragen met puntenwaardes (4p, 5p). Er zijn geen visuele elementen zoals grafieken, tabellen of figuren direct op deze pagina, maar er wordt wel verwezen naar 'figuur 2 op de bijlage' voor opgave 15. De pagina omvat diverse wiskundige en wetenschappelijke concepten. Opgave 14 en 15 behandelen lineaire formules (M=c*I), economische concepten zoals inkomen en mobiliteit, en relaties tussen verschillende regio's (West-Europa, Noord-Amerika). Studenten moeten hier een factor berekenen en een inkomen aflezen en controleren met formules. Opgave 16 tot en met 18 duiken in biologische en statistische concepten, specifiek over de zintuigen (smaak, reuk) en kansberekening. Hierbij wordt gevraagd naar het aantal mogelijke smaakcombinaties (combinatoriek) en kansen in een experiment met geurherkenning. De student moet kansen berekenen, met name de kans dat iemand puur door gokken correct antwoordt of als 'niet-ruiker' wordt geclassificeerd, en deze antwoorden toelichten. Dit impliceert kennis van waarschijnlijkheid en experimenteel design.

### Pagina 8

```json
{
  "description": "Dit is een opdrachtpagina van een wiskunde-examen, deel van Opgave 5. De pagina bevat twee hoofdopdrachten. De eerste opdracht richt zich op statistiek en het berekenen van gemiddelden op basis van de werktijd die leerlingen besteden aan wiskunde A en/of B. Visuele elementen in dit deel zijn 'tabel 2', die de landelijke procentuele verdeling toont van leerlingen in de bovenbouw van het havo die wiskunde A en/of B kiezen. De tabel heeft 2 rijen ('geen wiskunde B', 'wel wiskunde B') en 2 kolommen ('geen wiskunde A', 'wel wiskunde A'), met percentages daarin (16%, 54%, 27%, 3%). Er zijn tevens expliciete gegevens over gemiddelde werktijden voor wiskunde A (4 uur), wiskunde B (5 uur) en een totale werktijd (31 uur), naast de constatering dat leerlingen met wiskunde A én B 9 uur aan wiskunde besteden. De student wordt gevraagd om een gegeven gemiddelde van 3,78 uur per week dat een havo-leerling aan wiskunde besteedt, na te rekenen en te bevestigen (vraag 19, 3 punten). Het tweede deel van de pagina introduceert een nieuw systeem van profielkeuze in de Tweede Fase, waarbij leerlingen een van vier profielen moeten kiezen: Cultuur en Maatschappij (C&M), Economie en Maatschappij (E&M), Natuur en Gezondheid (N&G), en Natuur en Techniek (N&T). Er wordt uitgelegd dat elk profiel wiskunde bevat, maar de variant verschilt. Tot slot wordt een matrix M gepresenteerd, die de 'wiskunde keuze nu' weergeeft voor elk profiel, met daarin de kansen of verdelingen voor 'geen', 'A' of 'B' wiskunde per profieltype. Deze matrix is een 4x3 matrix, waarbij de rijen de profielen (C&M, E&M, N&G, N&T) zijn en de kolommen de wiskundekeuze (geen, A, B) en de waarden fracties of kansen zijn. Dit deel lijkt de prelude op verdere vragen over kansberekening of matrixrekening. De pagina is een opgavepagina met tekst, een tabel en een matrix. De wiskundige concepten omvatten statistiek (gemiddelden, procentuele verdelingen) en matrixrekening (op basis van de gepresenteerde matrix M).",

### Pagina 9

```json
{
  "description": "Dit is een opgavepagina van een examen, gericht op wiskundige modellering en data-analyse. De pagina bevat twee opgaven (20 en 21) die voortbouwen op eerdere informatie in het examen (tabel 2 en vraag 19 worden genoemd, maar zijn niet zichtbaar op deze pagina). \n\nVisuele elementen omvatten een tabel (tabel 3) met daarin 'studielasturen (SLU's)' per wiskundeprofiel (C&M, E&M, N&G, N&T). De tabel toont numerieke waarden voor SLU's: 160, 280, 320, en 440 respectievelijk.\n\nDe wiskundige/wetenschappelijke concepten draaien om het uitvoeren van berekeningen met percentages en het concept van studielasturen. Opgave 20 vraagt om het gebruik van een 'matrix M' (niet getoond) en gegevens uit 'tabel 2' (niet getoond) om de procentuele verdeling over verschillende profielen in de Tweede Fase voor school Y te berekenen. Dit impliceert matrixvermenigvuldiging of lineaire algebra om verdelingen te beheren. Opgave 21 richt zich op school Z en de vergelijking van studietijd aan wiskunde tussen de huidige situatie en de Tweede Fase, gebaseerd op een gegeven procentuele verdeling van havo-leerlingen over profielen (25% C&M, 35% E&M, 20% N&G, 20% N&T) en de SLU's uit tabel 3. Ook wordt een totaal van 3200 SLU's per leerling over alle vakken genoemd.\n\nVan de student wordt gevraagd:\n*   In opgave 20: Het berekenen van een procentuele verdeling met behulp van een matrix en verstrekte gegevens. Dit vereist inzicht in matrixoperaties en het toepassen van gegeven modelaannames (roostermaker). \n*   In opgave 21: Bepalen of het percentage werktijd besteed aan wiskunde groter of kleiner wordt in de Tweede Fase voor havo-leerlingen op school Z, door middel van berekeningen met de gegeven profielverdeling, SLU's en een totaal aantal studielasturen. Dit vraagt om proportioneel redeneren en gewogen gemiddelden.",
  "summary": "Examenopgave over wiskundige modellering van onderwijsdata. Bevat tabel met